未分類

【わかりやすく解説!】鉛直投げ上げの速度と位置

生徒
生徒
鉛直投げ上げってなに…?
学校で習ったけど、
いまいちわからない

という人にむけた記事。

博士
博士
この記事を読めば、
きっと君は、
鉛直投げ上げを理解している。
博士
博士
この記事では、
「そもそも鉛直投げ上げとは?」の
基礎部分から、
「実際の問題では、こう使う!」といった応用部分まで解説している。
生徒
生徒
おおお…!!
頼もしい…!!
博士
博士
また鉛直投げ上げは、
等加速度直線運動の一種だ。

等加速度直線運動の
理解が浅い生徒は、
まず以下の記事を確認しよう。

博士
博士
では、いこう。
授業の流れは、
以下のようになっている。
授業のながれ

①鉛直投げ上げとは?

②公式を導く

③実際に問題を解いて、理解を深める

博士
博士
では、授業開始だ!



①鉛直投げ上げとは?

博士
博士
初めに、鉛直投げ上げとは、
真上に物体を投げたときの運動のことを指す。
生徒
生徒
真上に投げる!
博士
博士
そうだ。イメージが以下のようだ。
生徒
生徒
なるほど!!
博士
博士
このような物体の運動を考えていく。
生徒
生徒
ほう…!
博士
博士
等加速度直線運動の理解があれば、
非常にシンプルな運動だ。

②公式を導く

博士
博士
では、文字を使って、
鉛直投げ上げの公式を導く
生徒
生徒
おねがします!
博士
博士
ちなみに、今から導く公式は、
暗記しなくてもよい
生徒
生徒
え…っ!
博士
博士
等加速度直線運動の公式から
簡単に導きだせるから、
等加速度直線運動の公式を暗記していれば十分だ。
生徒
生徒
わかりました!
博士
博士
よし。では下のような状況を
考えてみよう。
博士
博士
初速度\(\sf{v_0}\)で、
真上に物体を投げた
ときの図だ。
博士
博士
そのとき、時間t[s]のときの、
物体の速度v、変位yを求める。
生徒
生徒
速度vと変位yですね!
博士
博士
ああ。
まず重力加速度gは、
常に一定なので、
この物体は、等加速度直線運動をする。
生徒
生徒
ってことは、
等加速度直線運動の公式が
使えますね!
博士
博士
その通り。
等加速度直線運動の公式は、
以下だった。
等加速度直線運動の公式

t秒後の速度v:  \(\sf{v=v_0+at}\)

t秒後の変位x:  \(\sf{x=v_0t+\frac{1}{2}at^2}\)

tを含まない式: \(\sf{v^2-v_0^2=2ax}\)

※\(\sf{v_0}\): 初速度、a:加速度

博士
博士
もしこの公式の理解が浅い人は、
以下の記事を確認しような。
博士
博士
ここで一点だけ注意だ。
生徒
生徒
ん!?なんでしょう!!
博士
博士
今、上方向がプラス方向としてる。

そのため、重力加速度gは、
マイナスの値
となる。

なので、加速度aは、
a = -g
となるんだ。

生徒
生徒
ほう…!
上方向がプラスだから、
下方向の重力加速度gは、
マイナスになるってことですね!
博士
博士
その理解で大丈夫だ。問題ない。
生徒
生徒
つまり…?
博士
博士
つまり、鉛直投げ上げの公式は、

・t秒後の速度v
\(\sf{v=v_0+at}\)

⇨\(\sf{v=v_0-gt}\)

・t秒後の変位y
\(\sf{y=v_0t+\frac{1}{2}at^2}\)

⇨\(\sf{y=v_0t-\frac{1}{2}gt^2}\)

となる。

生徒
生徒
a = -g としたわけですね!!
博士
博士
ああ。その通りだ。
まとめると、以下のようになる。
鉛直投げ上げの公式

t秒後の速度v:  \(\sf{v=v_0-gt}\)

t秒後の変位y:  \(\sf{x=v_0t-\frac{1}{2}gt^2}\)

tを含まない式: \(\sf{v^2-v_0^2=-2gx}\)

※\(\sf{v_0}\): 初速度、g:重力加速度

博士
博士
繰り返しになるが、
上の3つの式は、暗記しなくてよい。
博士
博士
なぜなら、
等加速度直線運動の公式から
簡単に、瞬時に導きだせるからだ。
生徒
生徒
わかりました!
博士
博士
では、実際に問題を解いてみよう!



③実際に問題を解いて、
理解を深める

博士
博士
実際に問題を解いて、
より鉛直投げ上げの
理解を深めていこう。
生徒
生徒
お願いします!
博士
博士
以下の問題を考える。
問題

地上から、19.6[m/s]でボールを投げ上げた。上方向を正として、次に設問に答えよ。

(1)ボールは何秒後に最高点に達するか。

(2)地上から最高点までの高さは何mか。

(3)ボールが投げた点に再び戻るまでの時間は何秒か。

博士
博士
今、上方向が正であるので、
重力加速度は、マイナス(負)の値となることに
注意して、問題を解いていこう。
博士
博士
(1)から考えて行く。

(1)ボールは何秒後に最高点に達するか。

博士
博士
まず「最高点はどんな点か?」考えよう。
生徒
生徒
えーっと…
速度がゼロになる点?
博士
博士
その通り。最高点のとき、
速度がプラスからマイナスに変わる。
そのため、このとき速度はゼロになる。
生徒
生徒
なるほど…!!
博士
博士
実際に計算する。
最高点に達する時間を\(\sf{t_1}\)[s]とすると、等加速度直線運動の公式、
\(\sf{v = v_0-gt_1}\)から、

\(\sf{v = v_0-gt_1}\)
\(\sf{0 = 19.6-(9.8)×t_1}\)
\(\sf{t_1 = 2.0 [s]}\)

となる。

博士
博士
つまり、
(1)の答えは2.0[s]となる。
生徒
生徒
最高点での速度がゼロということが
わかれば、公式に当てはめるだけなので、大丈夫そうですね!
博士
博士
ああ。
では、次に行こう。

(2)地上から最高点までの高さは何mか。

博士
博士
最高点までの高さをyとしたとき、
図は、以下のようになる。
博士
博士
(1)から、最高点に達する時間が、
2.0[s]
であることもわかっている。
生徒
生徒
(1)の答えも使っていくんですね。
博士
博士
そうだ。使えるものは全部使おう。
博士
博士
図から、投げ上げてから
2.0秒後に、変位yになる。
博士
博士
等加速度直線運動の変位の公式
\(\sf{y=v_0t-\frac{1}{2}gt^2}\)を使うと、

\(\sf{y=v_0t-\frac{1}{2}gt^2}\)
\(\sf{y=19.6× 2.0
-\frac{1}{2}×(9.8)×(2.0)^2}\)
\(\sf{y=19.6}\)

となる。

生徒
生徒
\(\sf{v_0 =19.6 , g = 9.8, t = 2.0}\)を
代入したんですね!
博士
博士
よって、(2)の答えは19.6[m]だ。

(3)ボールが投げた点に再び戻るまでの時間は何秒か。

博士
博士
いよいよ最後の問題だ。
生徒
生徒
投げ上げたボールが
地上に戻ってくるときですね!
博士
博士
そうだ。
この状況を図に書いてみよう。
下のようになる。
博士
博士
図から、
最初と同じ位置に戻ることになる。
よって、このとき変位は?
生徒
生徒
ゼロ…!!
博士
博士
そうだ。変位が0のときの時間
求めればよいわけだ。
生徒
生徒
おお…!!
博士
博士
ボールが投げた点に再び戻るまでの時間を\(\sf{t_2}\)とし、
\(\sf{v_0 =19.6 , g = 9.8, y = 0}\) なので、
以下の式が成り立つ。

\(\sf{ 0 = 19.6 × t_2 – \frac{1}{2} × (9.8) × t_2^2}\)

生徒
生徒
\(\sf{y=v_0t-\frac{1}{2}gt^2}\)の式に、
数字を代入したわけですね!!
博士
博士
その通り。解いていく。

\(\sf{ 0 = 19.6 × t_2 – \frac{1}{2} × (9.8) × t_2^2}\)
\(\sf{ 0 = 2.0 × t_2 – \frac{1}{2} × t_2^2}\)
\(\sf{ t_2^2 – 4t_2 = 0}\)

つまり、\(\sf{t_2 = 0 , 4}\)となる。

生徒
生徒
なるほど!!
でも、博士!
\(\sf{t_2}\)が2つありますよ!!
博士
博士
そうだな。
でも\(\sf{t_2=0}\)は、最初の状態を指す。
よって、答えは、\(\sf{t_2=4}\)となる。
生徒
生徒
なるほど…!!
博士
博士
今日の授業は以上だ。
また会おう。