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わかりやすい斜方投射の解説と問題の解き方

生徒
生徒
斜方投射がわからない
なんで斜めにボールを投げるの…

という人向けの解説記事。

博士
博士
斜方投射で、
物理が苦手になる人が多い。
だれでもわかるように、解説する。
安心してくれ。
生徒
生徒
は、博士…!!
博士
博士
水平投射や鉛直投げ上げを
理解しておくと、斜方投射は、
より深く理解できる。
「水平投射?鉛直投げ上げ?」という人は、下の記事を
まず確認してもらうことをオススメする。
生徒
生徒
わかりました!!
博士
博士
では、解説していく。
授業の流れは、
以下のようになっている。
授業のながれ

①斜方投射とはどんな運動か?

②斜方投射を理解するためには、真横・真上から見ること

③実際に問題を解いてみる

博士
博士
まずは、
斜方投射とは、どんな運動か?
一緒に理解していこう。
生徒
生徒
よろしくお願いします!!

①斜方投射とはどんな運動か?

博士
博士
斜方投射とは、以下のような放物線を描きながらの落下運動だ。
博士
博士
端的にいうと、
ボールを斜め上に投げたときの運動だ。
生徒
生徒
なるほど!
めにげるから、斜方投射というんですね!
博士
博士
その通りだ。
良い理解だな。
博士
博士
この斜方投射は、
鉛直方向(y方向)の運動と、
水平方向(x方向)の運動が
混ざっている
ので、
少し複雑に見える。
生徒
生徒
水平投射のときと同じですね…!
博士
博士
ああ。
では、以下のように真横・真上からの
2つの視点で運動を考えていこう。

②斜方投射を理解するためには、真横・真上から見ること

博士
博士
物理の世界では、
複雑なものは、分解して考えていくと
意外にシンプルになっていく。
生徒
生徒
なるほど…!
「複雑..!!」と感じたら、分解すればいいんですね!!
博士
博士
ああ、その通りだ。
では、斜方投射を分解していこう!!

斜方投射の運動を真横から見てみる

博士
博士
まず真横から、すなわち鉛直方向の運動を見ていこう。
生徒
生徒
よろしくお願いします!
博士
博士
真横からみると、以下のように
鉛直投げ上げ運動をするんだ。
生徒
生徒
上がって、下がってという運動ですね!
博士
博士
ああ。その通りだ。
博士
博士
ボールは最高点の位置に達した時、
速さはゼロになり、一瞬止まる。
そして、下降する運動となる。
生徒
生徒
なるほど!!
博士
博士
では、次に真上から見たときの
運動を考えてみる。

斜方投射の運動を真上から見てみる

博士
博士
続いて、真上から見た運動、すなわち水平方向の運動を考える。
博士
博士
真上から斜方投射の運動を見ると、
以下のように、等速直線運動となる。
生徒
生徒
鉛直方向には、重力加速度という
加速度があったから、
速度は変化したけど、
水平方向には、何も加速度がない。
だから速度は一定なんですね!!
博士
博士
その通りだ。
水平方向(x方向)には、
加速度がない
ので、
速度は常に同じ、
すなわちと等速直線運動をするんだ。
生徒
生徒
ほ、ほう!!
博士
博士
では、実際に問題を解いてみよう。
生徒
生徒
よろしくお願いします!
博士
博士
その前に、等加速度運動の公式を
おさらいしておく。
等加速度直線運動の公式

t秒後の速度v:  \(\sf{v=v_0+at}\)   ・・・①
t秒後の変位x:  \(\sf{x=v_0t+\frac{1}{2}at^2}\)  ・・・②

博士
博士
では、問題にいこう!

③実際に斜方投射の問題を解いてみる

博士
博士
ここから、具体的な問題を解き、
斜方投射の理解を深めていく。
生徒
生徒
はい!
博士
博士
問題は以下の通りだ。
問題

地上のある点から、小球を水平方向と角度 θ をなす向きに
大きさ \(\sf{v_0}\) [m/s]の初速度で投げる。重力加速度の大きさは \(\sf{g}\)[m/s2] とする。

(1)最高点に達するまでの時間 \(\sf{t_1}\) とその高さ \(\sf{h}\) [m]を求めよ。

(2)落下点に達するまでの時間 \(\sf{t_2}\) [s]と水平到達距離 \(\sf{L}\) [m] を求めよ。

博士
博士
まず初速度\(\sf{v_0}\) をy方向と、
x方向に分解しよう。
三角比を使うと以下のように分解できる。
生徒
生徒
y方向とx方向に分解するわけですね!
博士
博士
ああ。
では、問題に取り掛かろう。
生徒
生徒
お願いします!

(1)最高点に達するまでの時間\(\sf{t_1}\)とその高さ\(\sf{h}\)を求める

博士
博士
まず、最高点に達するまでの時間\(\sf{t_1}\)を求めよう。
鉛直方向(y方向)の運動に着目する。
生徒
生徒
y方向では、鉛直投げ上げの運動をしていますね!
博士
博士
その通りだ。
今、求めたいのは、
小球が最高点に達した時間\(\sf{t_1}\)だ。
これは、どんなときだ?
生徒
生徒
小球が最高点に達したときだから、
鉛直方向の速度はゼロのときです!!
博士
博士
ああ。正解だ。
重力加速度は一定なので、
鉛直方向は、等加速度運動をする。
なので、等加速度運動の公式が使える
生徒
生徒
なるほど…!!
博士
博士
t秒後の速度vは、
\(\sf{v=v_0+at}\)と表されるので、
今の状況を当てはめると、
以下のようになる。

\(\sf{0 = v_0sinθ – gt_1}\)

生徒
生徒
ほう!!
博士
博士
ちなみに、図から、
鉛直上方向がプラスの方向なので、
重力加速度はマイナスとなる。
生徒
生徒
おおお!!(見事に私の疑問を…!)
博士
博士
よって、式を計算すると、

\(\sf{t_1 = \frac{v_0sinθ}{g}}\)

となる。

生徒
生徒
意外に簡単だ…!!
博士
博士
次は、最高点での高さ\(\sf{h}\)を求める。
もちろん、鉛直方向は等加速度運動をする。
博士
博士
等加速度運動では、
t秒後の変位yは、
\(\sf{y=v_0t+\frac{1}{2}at^2}\)となる。
生徒
生徒
公式を使っていくんですね!
博士
博士
ああ。使えるものは使う。

\(\sf{y=v_0t+\frac{1}{2}at^2}\)に
今の状況を当てはめると、

\(\sf{h= (v_0sinθ)t_1 -\frac{1}{2}at_1^2}\)・・・③

となる。

生徒
生徒
おおお!
博士
博士
ちなみに、
高さ⇨\(\sf{h}\)
鉛直方向の初速度⇨\(\sf{v_0sinθ}\)
最高点までに達する時間⇨\(\sf{t_1}\)
を当てはめた。
生徒
生徒
なるほど…!
さっき求めた\(\sf{t_1}\)の値も
使っていくんですね!
博士
博士
そうだ。
上の③式を整理すると、

\(\sf{h = \frac{{v_0}^2{sin^2}θ}{2g}}\)

となる。

生徒
生徒
おお!!
一見難しい問題でしたけど、
意外とそうでもなかったですね!!
博士
博士
その通り。
物理はしっかり理解さえしていれば、
そこまで難しくない。
では、次の問いに行こう!

(2)落下するまでの時間\(\sf{t_2}\)と水平到達距離\(\sf{L}\)を求める

博士
博士
次は、小球が落下するまでの時間\(\sf{t_2}\)をまず求める。
状況を簡単に下に書いた。
生徒
生徒
時間から求めるんですね!
博士
博士
そうだ。鉛直方向の運動を考えよう。
落下したときの変位は、もちろんゼロだ。
博士
博士
鉛直方向は、
重力加速度が一定なので、
等加速度直線運動をする。

このとき、t秒後の変位yはどうなる?

生徒
生徒
等加速度直線運動だから…

\(\sf{y=v_0t+\frac{1}{2}at^2}\)です!!

博士
博士
そうだ。
変位は0。

今の状況を当てはめると、
\(\sf{0 = v_0sinθt_2 – \frac{1}{2}gt_2^2}\)
となる。

生徒
生徒
変位が0で、
初速度が、\(\sf{v_0sinθ}\)
かかった時間が、\(\sf{t_2}\)ですね!!
博士
博士
ああ。
式を整理すると、

\(\sf{t_2^2 – \frac{2v_0sinθ}{g}t_2 = 0}\)

つまり、
\(\sf{t_2 = 0, \frac{2v_0sinθ}{g}}\)
となる。

生徒
生徒
は、博士…

\(\sf{t_2}\)の値が2つ出てきました…!

博士
博士
ああ。その場合は、どちらが正しいか
考える必要がある。
もちろん、どっちも正しいという可能性も捨ててはいけない。
生徒
生徒
なるほど…!
博士
博士
\(\sf{t_2=0}\)ってどんなときかを考えてみよう。
生徒
生徒
かかった時間が0ってことなので、
最初の状態ってことですか??
博士
博士
正解だ。
なので、\(\sf{t_2=0}\)はスタートの状態を表すので、
今回は、だめだ。
なので、\(\sf{t_2 = \frac{2v_0sinθ}{g}}\)となる。
生徒
生徒
2つ以上、答えが出た場合は、
どっちが正しいかを考える必要があるんですね!
博士
博士
その通り。
では、最後に水平到達距離\(\sf{L}\)を求めよう。
水平方向(x方向)の運動を考える。
博士
博士
水平方向には、加速度がない。
ということは、どんな運動をする?
生徒
生徒
等速運動!
博士
博士
正解だ。
今求めたい水平到達距離\(\sf{L}\)は、
\(\sf{t_2}\)[s]後の距離なので、

\(\sf{L = v_0cosθ × t_2}\)

となる。

生徒
生徒
簡単…!
博士
博士
式を整理すると、

\(\sf{L = \frac{2v_0^2sinθcosθ}{g}}\)

となる。

生徒
生徒
一見複雑でしたけど、
鉛直方向と水平方向に分解すると、
シンプルでした!
博士
博士
良い気づきだ。
では、一旦は授業は終了だ。
また会おう。

斜方投射の理解をより深めたい人だけ読むように

博士
博士
概念は理解できたと思うので、
一度、問題演習をすることをオススメする。
生徒
生徒
問題演習ですね..!!
博士
博士
問題演習は、
自分の手元にある参考書でもいい。
生徒
生徒
参考書なら何冊かあります..!!
博士
博士
しかし、おれのおすすめは、
スタディサプリで授業を見ることだ。
生徒
生徒
スタディサプリ…!!
博士
博士
一度、理解した後の頭で授業をみる
復習にもなるし、知識の定着におすすめだ。
生徒
生徒
復習のための授業…!
博士
博士
理解した頭で授業をきくことで、
記憶に定着しやすい
博士
博士
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生徒
生徒
わかりました!!

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