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等加速度直線運動の時間を含まない式を解説する。

生徒
生徒
等加速度直線運動がよくわからない…
そもそも何がわかってないかもわからない
博士
博士
そんな生徒は、
以前の記事をチェックだ。
合計20分あれば、
きみは等加速度直線運動を理解できる。

この記事では、
等加速度直線運動の時間tを含まない式を導く。

生徒
生徒
等加速度直線運動は、
まあまあ理解してきた!!
けど、計算がややこしいんだよね…
楽な計算方法が知りたい!!

という人への解説記事。

授業のながれ

①等加速度直線運動のおさらい

②等加速度直線運動の時間tを含まない式を導く

③等加速度直線運動の時間tを含まない式のメリット

①等加速度直線運動のおさらい

博士
博士
まず等加速度直線運動のおさらいだ。
等加速度直線運動の様子
博士
博士
上のような状況のとき、
t秒後の速度vはどう表された??
生徒
生徒
えーっと…
\(\sf{v=v_0+at}\)です!!
博士
博士
そうだ。次に、t秒後の変位xは??
生徒
生徒
\(\sf{x=v_0t+\frac{1}{2}at^2}\)です!!
博士
博士
正解だ。
これは導出を理解したあと、
暗記しよう。
使う場面が多く、頻出の公式だ。
博士
博士
念のため、まとめるとこうだ。
等加速度直線運動の公式

t秒後の速度v:  \(\sf{v=v_0+at}\)   ・・・①
t秒後の変位x:  \(\sf{x=v_0t+\frac{1}{2}at^2}\)  ・・・②

博士
博士
では、この2つの式から、時間tを含まない式を導く

②等加速度直線運動の時間tを含まない式を導く

博士
博士
これから導く式には、
時間tを含まないようにしたい。
なので、どう式を変形すべきだ?
生徒
生徒
tが消えるようにしたいですね!!
博士
博士
そうだ。tを消すために、①の式を変形する。

\(\sf{at = v – v_0 }\)

\(\sf{t = \frac{v – v_0}{a}}\)  ・・・①’

博士
博士
この式を①’とする。
生徒
生徒
tを消すために、①の式を「t=・・・」の形にしたんですね。
博士
博士
そうだ。変形にはどんな時も理由がある。
今は、tを消したいから、「t=・・・」の形にした。
博士
博士
①’を②に代入すると、どうなる?
生徒
生徒
tが消える!!
博士
博士
そうだ。具体的に計算していこう。

\(\sf{t = \frac{v – v_0}{a} }\) ・・・①’

\(\sf{x=v_0t+\frac{1}{2}at^2}\)  ・・・②

博士
博士
②に①’を代入する。

\(\sf{x=v_0×(\frac{v – v_0}{a})+\frac{1}{2}×a×(\frac{v – v_0}{a})^2}\)

博士
博士
両辺に\(\sf{a^2}\)をかける。

\(\sf{ax=v_0×(v-v_0)+\frac{1}{2}(v-v_0)^2}\)

博士
博士
両辺に2をかける。

\(\sf{2ax=2v_0(v-v_0)+(v-v_0)^2}\)

博士
博士
右辺の式を展開する。

\(\sf{2ax=2v_0v-2v_0^2+v^2-2v_0v+v_0^2}\)

博士
博士
右辺を整理する。

\(\sf{2ax=v^2-v_0^2}\)

博士
博士
生徒の混乱を避けるために、
よく参考書にのっている形に
整理しておこう。

\(\sf{v^2-v_0^2=2ax}\)

博士
博士
これで、
等加速度直線運動の時間を含まない式が
導けた。
生徒
生徒
思っていたより簡単だ…!!
博士
博士
tを消去するだけだ。
やることをかなりシンプルだ。

念のため、ここまでの公式を整理しておこう。

等加速度直線運動の公式

t秒後の速度v:  \(\sf{v=v_0+at}\) 
t秒後の変位x:  \(\sf{x=v_0t+\frac{1}{2}at^2}\) 
tを含まない式: \(\sf{v^2-v_0^2=2ax}\)

生徒
生徒
理解した後に整理すると、
頭の中がスッキリしますね!!
博士
博士
だろ?
理解⇨整理の順番が大事だ。
理解する前に、
整理されたものを見てしまうと
記憶の定着が曖昧になる。
生徒
生徒
そうなんですね!!
博士
博士
最後におまけだ。
等加速度直線運動の時間tを含まない式のメリットについて紹介する。
生徒
生徒
そういうの待ってました…!!

③等加速度直線運動の時間tを含まない式のメリット

博士
博士
時間tを含まない式のメリットは、
ズバリ、計算を短縮できることだ。
生徒
生徒
計算を短縮!?
博士
博士
そうだ。
以下の問題を考える。
問題

はじめ止まっていた自転車が一定の加速度で加速したところ、
ある時点で速さが6[m/2]になった。
このとき加速度の大きさは、
3[\(\sf{m/s^2}\)]であった。
進んだ距離はいくらでしょうか。

博士
博士
簡単に図に表すと、こんなイメージだ。
博士
博士
この問題を題材にして、
時間tを含まない式のメリットを
考えていこう。

等加速度直線運動の時間tを含まない式を使わない場合

博士
博士
今、加速度は一定なので、これは等加速度直線運動だ。
なので、変位を求めるには、公式を使えばいい。

\(\sf{x=v_0t+\frac{1}{2}at^2}\) 

生徒
生徒
加速度が一定なので、
\(\sf{x=v_0t+\frac{1}{2}at^2}\) が
使えるわけですね!
博士
博士
ああ。そうだ。
でも、\(\sf{x=v_0t+\frac{1}{2}at^2}\) を
使って求めるときには、
まずt(時間)を求めないといけない
生徒
生徒
そうですね!
今、tの値がわからないですもんね!
博士
博士
ああ。先に、時間tを求める。
速さが6[m/s]となったときを
t秒後とすると、
どういう式が成り立つ?
生徒
生徒
えーっと…
はじめは止まっていたから、
初速度\(\sf{v_0}\)=0

だから、6 = 0 + 3 × t

t=2!!

博士
博士
正解だ。
次に、変位xを求めよう。
生徒
生徒
等加速度直線運動の変位xは、
\(\sf{x=v_0t+\frac{1}{2}at^2}\) だから…
生徒
生徒
x = 0 × 2 + \(\sf{\frac{1}{2}}\) × 3 × \(\sf{2^2}\)
= 6
博士
博士
その通りだ。
この時の変位は、6[m]だ。
生徒
生徒
よし!理解してきた!!
博士
博士
では、次に時間tを含まない式を使う場合を考えてみよう。

等加速度直線運動の時間tを含まない式を使う場合

博士
博士
tを含まない式を使うメリットは、
計算が短縮されることと説明した。
生徒
生徒
はい!!
博士
博士
実際に計算してみよう。
博士
博士
問題をもう一度確認しておく。
問題

はじめ止まっていた自転車が一定の加速度で加速したところ、
ある時点で速さが6[m/2]になった。
このとき加速度の大きさは、
3[\(\sf{m/s^2}\)]であった。
進んだ距離はいくらでしょうか。

博士
博士
今、変位xを求めたいので、
時間tを含まない式
\(\sf{v^2-v_0^2=2ax}\)を用いるとこうなる。

\(\sf{v^2-v_0^2=2ax}\)

\(\sf{6^2 – 0^2 = 2 × 3 × x}\)

36 = 6x

x = 6

生徒
生徒
あ…!!
博士
博士
問題終了だ。
生徒
生徒
早い…!!
博士
博士
なぜ早いか?を考えるために、
それぞれの求め方のプロセスを
確認してみよう。
博士
博士
プロセスを整理すると、
以下のようになる。
生徒
生徒
手間が違いますね…
博士
博士
そうだ。
試験では時間との勝負になってくる。
そんなとき、
等加速度直線運動の時間tを
含まない式を覚えておくと便利だ。
生徒
生徒
確かに…!!
計算ミスも防ぐことができますしね!!
博士
博士
ああ。そのメリットもある。
博士
博士
一旦、今日はここまでだ。
次回また会おう。